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小升初趣味数学——九连环与格雷码

归档日期:05-06       文本归类:二进制数字      文章编辑:爱尚语录

  奥数郑州站小升初小升初知识数学知识点 正文

  分析解九连环的完全记法,由于每次只动一个环,故两步的表示也只有一个数字不同。下面以五个环为例分析。左边起第一列的五位数是5个环的状态,依次由第一环到第五环。第二列是把这个表示反转次序的五位数,似乎是二进制数,但是与第四列比较就可以看出这不是步数的二进制数表示。

  第三列是从初始状态到这个状态所用的步数。最右边一列才是步数的二进制表示。

  我们发现,右边一列数恰好是十进制数0到21的二进制数的格雷码! 这当然需要21步。如果把5位二进制数依次写完,就是

  这说明,对于只有5个环的五连环,从初始到状态11111用的不是并不是最多,到状态00001才是最多,用31步。类似,对于九连环,从初始到状态111111111用的不是并不是最多,到状态000000001才是最多,用511步。由于格雷码111111111表示二进制数101010101,表示十进制数341,故从初始状态到9个环全部上去用341步。这就是九连环中蕴涵的数学内涵。

  注 由二进制数转换为格雷码:从右到左检查,如果某一数字左边是0,该数字不变;如果是1,该数字改变(0变为1,1变为0)。例,二进制数11011的格雷码是10110.

  由格雷码表示变为二进制数:从右到左检查,如果某一数字的左边数字和是偶数,该数字不变;如果是奇数,该数字改变。

  例题:设九连环的初始状态是110100110,要求终止状态是001001111,简单解法与完整解法各需要多少步?过程如何?

  对于N=141,得到N0=103;对于N=327,N0=242.二者差139,故简单步数139.这个结果很容易在下一页九连环电脑游戏上验证。

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